Autoregressive Moving Average Modell Excel

ARMA Unplugged Dies ist der erste Eintrag in unserer Serie von Unplugged Tutorials, in dem wir uns in die Details der einzelnen Zeitreihenmodelle, mit denen Sie bereits vertraut sind, vertiefen, die zugrunde liegenden Annahmen hervorheben und die Intuitionen hinter ihnen nach Hause fahren. In dieser Ausgabe begegnen wir dem ARMA-Modell einen Eckpfeiler in der Zeitreihenmodellierung. Im Gegensatz zu früheren Analysenproblemen werden wir hier mit der ARMA-Prozessdefinition beginnen, die Inputs, Outputs, Parameter, Stabilitätsbeschränkungen, Annahmen ausgeben und schließlich einige Richtlinien für den Modellierungsprozess zeichnen. Hintergrund Nach Definition ist der auto-regressive gleitende Durchschnitt (ARMA) ein stationärer stochastischer Prozess, der aus Summen von autoregressivem Excel besteht und gleitende Durchschnittskomponenten bewegt. Alternativ, in einer einfachen Formulierung: Annahmen Lets Blick näher an die Formulierung. Der ARMA-Prozess ist einfach eine gewichtete Summe der bisherigen Output-Beobachtungen und Schocks mit wenigen Schlüsselannahmen: Was bedeuten diese Annahmen Ein stochastischer Prozess ist ein Gegenstück zu einem deterministischen Prozess, das die Evolution einer zufälligen Variablen über die Zeit beschreibt. In unserem Fall ist die Zufallsvariable Der ARMA-Prozess erfasst nur die serielle Korrelation (d. H. Autokorrelation) zwischen den Beobachtungen. In klaren Worten fasst der ARMA-Prozess die Werte der vergangenen Beobachtungen zusammen, nicht ihre quadratischen Werte oder deren Logarithmen usw. Die Abhängigkeit der höheren Ordnung erfordert einen anderen Prozess (z. B. ARCHGARCH, nichtlineare Modelle usw.). Es gibt zahlreiche Beispiele für einen stochastischen Prozess, bei dem vergangene Werte die aktuellen beeinflussen. Zum Beispiel in einem Verkaufsbüro, das laufende Ausschreibungen erhält, werden einige als verkaufsgewonnen, einige als verkäufe verloren, und ein paar verschüttet in den nächsten Monat. Als Ergebnis, in einem bestimmten Monat, einige der Verkäufe gewonnene Fälle entstehen als Anfragen oder sind Wiederholungsverkäufe von den vorhergehenden Monaten. Was sind die Schocks, Innovationen oder Fehler Begriffe Dies ist eine schwierige Frage, und die Antwort ist nicht weniger verwirrend. Dennoch können wir es ausprobieren: In einfachen Worten ist der Fehler in einem gegebenen Modell ein Fang aller Eimer für alle Variationen, die das Modell nicht erklärt. Noch verloren Lets verwenden ein Beispiel. Für einen Aktienkurs-Prozess gibt es möglicherweise Hunderte von Faktoren, die das Preisniveau aktualisieren, einschließlich: Dividenden und Split Ankündigungen Quarterly Ertragsberichte Merger und Akquisition (MampA) Aktivitäten Juristische Veranstaltungen, z. B. Die drohende Klageklage. Andere Ein Modell, durch Design, ist eine Vereinfachung einer komplexen Realität, also was auch immer wir außerhalb des Modells verlassen, wird automatisch im Fehlerbegriff gebündelt. Der ARMA-Prozess geht davon aus, dass die kollektive Wirkung all dieser Faktoren mehr oder weniger wie Gaußschen Lärm wirkt. Warum kümmern wir uns um vergangene Schocks. Anders als ein Regressionsmodell kann das Auftreten eines Stimulus (z. B. Schock) eine Auswirkung auf das aktuelle Niveau und möglicherweise zukünftige Ebenen haben. Zum Beispiel beeinflusst ein Unternehmensereignis (z. B. MampA-Aktivität) den Underling-Unternehmen Aktienkurs, aber die Änderung kann einige Zeit dauern, um seine volle Wirkung zu haben, da die Marktteilnehmer die verfügbaren Informationen analysieren und entsprechend reagieren. Das ist die Frage: Dont die Vergangenheit Werte der Ausgabe haben bereits die Schocks Vergangenheit Informationen JA, die Schocks Geschichte ist bereits in der Vergangenheit Ausgangswerte berücksichtigt. Ein ARMA-Modell kann nur als reines auto-regressives (AR) Modell dargestellt werden, aber der Speicherbedarf eines solchen Systems in unendlich. Dies ist der einzige Grund, die MA-Komponente einzuschließen: um die Lagerung zu speichern und die Formulierung zu vereinfachen. Auch hier muss der ARMA-Prozess stationär sein, damit die marginale (bedingungslose) Varianz existiert. Anmerkung: In meiner obigen Diskussion unterscheide ich nicht nur die Abwesenheit einer Einheitswurzel in der charakteristischen Gleichung und der Stationarität des Prozesses. Sie sind verwandt, aber das Fehlen einer Einheitswurzel ist keine Garantie für die Stationarität. Dennoch muss die Einheitswurzel im Inneren des Einheitskreises liegen, um genau zu sein. Schlussfolgerung Lass uns das wiederherstellen, was wir bisher gemacht haben. Zuerst untersuchten wir einen stationären ARMA-Prozess, zusammen mit seinen Formulierungen, Inputs, Annahmen und Speicheranforderungen. Als nächstes haben wir gezeigt, dass ein ARMA-Prozess seine Ausgangswerte (Auto-Korrelation) und Stöße, die er früher in der aktuellen Ausgabe erlebt hat, beinhaltet. Schließlich haben wir gezeigt, dass der stationäre ARMA-Prozess eine Zeitreihe mit einem stabilen Langzeit-Mittel und Varianz erzeugt. In unserer Datenanalyse sollten wir, bevor wir ein ARMA-Modell vorschlagen, die Stationaritätsannahme und den endlichen Speicherbedarf überprüfen. Für den Fall, dass die Datenreihe einen deterministischen Trend aufweist, müssen wir sie zuerst entfernen (de-trend) und dann die Reste für ARMA verwenden. In dem Fall, dass der Datensatz einen stochastischen Trend (z. B. zufälliger Spaziergang) oder Saisonalität aufweist, müssen wir ARIMASARIMA unterhalten. Schließlich kann das Korrelogramm (d. h. ACFPACF) verwendet werden, um den Speicherbedarf des Modells zu messen, und wir sollten erwarten, dass entweder ACF oder PACF schnell nach einigen Verzögerungen abklingen. Wenn nicht, kann dies ein Zeichen der Nicht-Stationarität oder eines Langzeitmusters sein (zB ARFIMA).ARIMA Vorhersage mit Excel und R Hallo Heute gehe ich Sie durch eine Einführung in das ARIMA-Modell und seine Komponenten Als eine kurze Erläuterung der Box-Jenkins-Methode, wie ARIMA-Modelle angegeben sind. Schließlich habe ich eine Excel-Implementierung mit R, die I8217ll zeigen Ihnen, wie Sie einrichten und verwenden. Autoregressive Moving Average (ARMA) Modelle Das Autoregressive Moving Average Modell dient zur Modellierung und Prognose stationärer, stochastischer Zeitreihenprozesse. Es ist die Kombination von zwei zuvor entwickelten statistischen Techniken, den Autoregressiven (AR) und Moving Average (MA) Modellen und wurde ursprünglich von Peter Whittle im Jahre 1951 beschrieben. George E. P. Box und Gwilym Jenkins popularisierten das Modell im Jahr 1971 durch die Festlegung diskreter Schritte zur Modellierung, Schätzung und Überprüfung. Dieser Vorgang wird später als Referenz beschrieben. Wir werden mit der Einführung des ARMA-Modells durch die verschiedenen Komponenten, die AR - und MA-Modelle beginnen und dann eine beliebte Verallgemeinerung des ARMA-Modells ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) und Prognose - und Modellspezifikationsschritte vorstellen. Schließlich werde ich erklären, eine Excel-Implementierung, die ich erstellt und wie man es verwendet, um Ihre Zeitreihe Prognosen zu machen. Autoregressive Modelle Das Autoregressive Modell dient zur Beschreibung von zufälligen Prozessen und zeitveränderlichen Prozessen und gibt an, dass die Ausgangsvariable linear von den bisherigen Werten abhängt. Das Modell wird beschrieben als: Xt c sum varphii, Xt-i varepsilont Wo varphi1, ldots, varphivarphi sind die Parameter des Modells, C ist konstant, und varepsilont ist ein weißer Rauschen Begriff. Im Wesentlichen, was das Modell beschreibt, ist für jeden gegebenen Wert X (t). Es kann durch Funktionen seines vorherigen Wertes erklärt werden. Für ein Modell mit einem Parameter wird varphi 1. X (t) durch seinen vergangenen Wert X (t-1) und den zufälligen Fehler varepsilont erklärt. Für ein Modell mit mehr als einem Parameter, zB varphi 2. X (t) ist gegeben durch X (t-1). X (t-2) und zufälliger Fehler varepsilont. Moving Average Model Das Moving Average (MA) Modell wird oft für die Modellierung von univariaten Zeitreihen verwendet und ist definiert als: Xt mu varepsilont theta1, varepsilon ldots thetaq, varepsilon mu ist der Mittelwert der Zeitreihe. Theta1, ldots, thetaq sind die Parameter des Modells. Varepsilont, varepsilon, ldots sind die weißen Rauschfehler Begriffe. Q ist die Reihenfolge des Moving Average-Modells. Das Moving Average-Modell ist eine lineare Regression des aktuellen Wertes der Serie im Vergleich zu Varepsilont-Terme in der vorherigen Periode, t. Varepsilon Zum Beispiel wird ein MA-Modell von q 1. X (t) durch den aktuellen Fehler varepsilont in der gleichen Periode und den vergangenen Fehlerwert, varepsilon erklärt. Für ein Modell der Ordnung 2 (q 2) wird X (t) durch die beiden letzten Fehlerwerte Varepsilon und Varepsilon erklärt. Die AR (p) und MA (q) Begriffe werden im ARMA-Modell verwendet, das nun eingeführt wird. Autoregressive Moving Average Model Autoregressive Moving Durchschnittliche Modelle verwenden zwei Polynome, AR (p) und MA (q) und beschreiben einen stationären stochastischen Prozess. Ein stationärer Prozeß ändert sich nicht, wenn er in Zeit oder Raum verschoben wird, daher hat ein stationärer Prozeß konstantes Mittel und Varianz. Das ARMA-Modell wird oft in Bezug auf seine Polynome, ARMA (p, q) bezeichnet. Die Notation des Modells ist geschrieben: Xt c varepsilont sum varphi1 X sum thetai varepsilon Das Auswählen, Schätzen und Verifizieren des Modells wird durch den Box-Jenkins-Prozess beschrieben. Box-Jenkins-Methode für die Modellidentifikation Im Folgenden finden Sie einen Überblick über die Box-Jenkins-Methode, da der eigentliche Prozess der Suche nach diesen Werten ohne ein statistisches Paket sehr überwältigend sein kann. Das auf dieser Seite enthaltene Excel-Blatt bestimmt automatisch das passendste Modell. Der erste Schritt der Box-Jenkins-Methode ist die Modellidentifikation. Der Schritt umfasst die Identifizierung der Saisonalität, die Differenzierung bei Bedarf und die Bestimmung der Reihenfolge von p und q durch Auftragen der Autokorrelations - und Teilautokorrelationsfunktionen. Nachdem das Modell identifiziert wurde, schätzt der nächste Schritt die Parameter. Die Parameterschätzung verwendet statistische Pakete und Berechnungsalgorithmen, um die passenden Parameter zu finden. Sobald die Parameter gewählt sind, prüft der letzte Schritt das Modell. Die Modellprüfung erfolgt durch Testen, um zu sehen, ob das Modell einer stationären, univariaten Zeitreihe entspricht. Man sollte auch bestätigen, dass die Residuen unabhängig voneinander sind und ein konstantes Mittel und eine Abweichung über die Zeit aufweisen, was durch die Durchführung eines Ljung-Box-Tests oder nochmals die Autokorrelation und die partielle Autokorrelation der Residuen erfolgen kann. Beachten Sie den ersten Schritt beinhaltet die Überprüfung auf Saisonalität. Wenn die Daten, mit denen Sie arbeiten, saisonale Trends enthält, sind Sie 8220difference8221, um die Daten stationär zu machen. Diese differenzierende Stufe verallgemeinert das ARMA-Modell in ein ARIMA-Modell oder Autoregressive Integrated Moving Average, wobei 8216Integrated8217 dem differenzierenden Schritt entspricht. Autoregressive integrierte Moving Average Modelle Das ARIMA Modell hat drei Parameter, p, d, q. Um das ARMA-Modell so zu definieren, dass es den differenzierenden Term beinhaltet, beginnen wir mit der Umstellung des Standard-ARMA-Modells, um X (t) Latex und Latex Varepsilont aus der Summation zu trennen. (1 - Summe Alphai Li) Xt (1 Summe thetai Li) varepsilont Wo L der Lagoperator und Alphai ist. Thetai Varepsilont sind autoregressive und gleitende Durchschnittsparameter und die Fehlerbegriffe. Wir nehmen nun die Annahme der ersten Polynom der Funktion, (1 - Summe Alphai Li) hat eine einheitliche Wurzel der Multiplizität d. Wir können es dann folgendermaßen umschreiben: Das ARIMA - Modell drückt die Polynomfaktorisierung mit pp - d aus und gibt uns: (1 - Summe phii Li) (1 - L) d Xt (1 Summe thetai Li) varepsilont Schließlich verallgemeinern wir die Modell weiter durch Hinzufügen eines Drift-Termes, der das ARIMA-Modell als ARIMA (p, d, q) mit Drift frac definiert. (1 - Summe Phii Li) (1 - L) d Xt Delta (1 Summe thetai Li) varepsilont Mit dem nun definierten Modell können wir das ARIMA Modell als zwei getrennte Teile ansehen, ein nicht stationäres und das andere weitgehend stationär (Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich nicht, wenn sie in Zeit oder Raum verschoben wird). Das nicht-stationäre Modell: Das weitläufige stationäre Modell: (1 - sum phii Li) Yt (1 sum thetai Li) varepsilont Prognosen können nun auf Yt mit einer generalisierten autoregressiven Prognosemethode gemacht werden. Nun, da wir die ARMA - und ARIMA-Modelle besprochen haben, wenden wir uns nun an, wie können wir sie in praktischen Anwendungen nutzen, um eine Prognose zu liefern. Ive baute eine Implementierung mit Excel mit R, um ARIMA-Prognosen sowie eine Option zum Ausführen von Monte Carlo Simulation auf dem Modell, um die Wahrscheinlichkeit der Prognosen zu bestimmen. Excel-Implementierung und Gebrauchsanweisung Bevor Sie das Blatt verwenden, müssen Sie R und RExcel von der Statconn-Website herunterladen. Wenn du bereits R installiert hast, kannst du einfach RExcel herunterladen. Wenn du nicht R installiert hast, kannst du RAndFriends herunterladen, die die neueste Version von R und RExcel enthält. Bitte beachten Sie, dass RExcel nur auf 32bit Excel für seine nicht kommerzielle Lizenz funktioniert. Wenn Sie 64bit Excel installiert haben, müssen Sie eine kommerzielle Lizenz von Statconn erhalten. Es empfiehlt sich, RAndFriends herunterzuladen, da es für die schnellste und einfachste Installation funktioniert, wenn Sie bereits R haben und es manuell installieren möchten, folgen Sie diesen nächsten Schritten. Manuelles Installieren von RExcel Um RExcel und die anderen Pakete zu installieren, um R in Excel zu arbeiten, öffnen Sie zuerst R als Administrator, indem Sie mit der rechten Maustaste auf die. exe klicken. Installieren Sie in der R-Konsole RExcel, indem Sie die folgenden Anweisungen eingeben: Die obigen Befehle installieren RExcel auf Ihrem Computer. Der nächste Schritt ist, rcom zu installieren, das ist ein anderes Paket von Statconn für das RExcel Paket. Um dies zu installieren, geben Sie die folgenden Befehle ein, die auch rscproxy ab R Version 2.8.0 automatisch installieren. Mit diesen Paketen können Sie auf die Verbindung zwischen R und Excel setzen. Obwohl nicht notwendig, um die Installation, ein praktisches Paket zum Download ist Rcmdr, von John Fox entwickelt. Rcmdr erstellt R-Menüs, die in Excel zu Menüs werden können. Diese Funktion kommt standardmäßig mit der RAndFriends-Installation und macht mehrere R-Befehle in Excel verfügbar. Geben Sie die folgenden Befehle in R ein, um Rcmdr zu installieren. Wir können den Link zu R und Excel erstellen. Hinweis in den letzten Versionen von RExcel wird diese Verbindung mit einem einfachen Doppelklick auf die mitgelieferte. bat-Datei ActivateRExcel2010 gemacht, also musst du nur diese Schritte befolgen, wenn du R und RExcel manuell installiert hast oder wenn aus irgendeinem Grund die Verbindung nicht gemacht wird Die RAndFriends Installation. Erstellen Sie die Verbindung zwischen R und Excel Öffnen Sie ein neues Buch in Excel und navigieren Sie zum Optionsbildschirm. Klicken Sie auf Optionen und dann auf Add-Ins. Sie sollten eine Liste aller aktiven und inaktiven Add-Ins sehen, die Sie derzeit haben. Klicken Sie unten auf die Schaltfläche Go. Im Dialogfeld Add-Ins sehen Sie alle hinzugefügten Add-In-Referenzen. Klicken Sie auf Durchsuchen. Navigieren Sie zum RExcel-Ordner, der sich normalerweise in C: Program FilesRExcelxls befindet oder ähnliches. Finde das RExcel. xla-Add-In und klicke darauf. Der nächste Schritt ist, eine Referenz zu erstellen, damit Makros mit R richtig funktionieren. Geben Sie in Ihrem Excel-Dokument Alt F11 ein. Dies wird eröffnet Excels VBA Editor. Gehen Sie zu Tools - gt Referenzen, und finden Sie die RExcel-Referenz, RExcelVBAlib. RExcel sollte nun bereit sein, mit dem Excel-Blatt zu verwenden Nun, da R und RExcel richtig konfiguriert sind, ist es Zeit, eine Vorhersage zu machen. Öffnen Sie das Vorhersageblatt und klicken Sie auf Server laden. Dies ist, um den RCom-Server zu starten und auch die notwendigen Funktionen zu laden, um die Prognose zu machen. Es öffnet sich ein Dialogfenster. Wählen Sie die mit dem Blatt enthaltene Datei itall. R aus. Diese Datei enthält die Funktionen, die das Prognosetool verwendet. Die meisten der enthaltenen Funktionen wurden von Professor Stoffer an der University of Pittsburgh entwickelt. Sie erweitern die Fähigkeiten von R und geben uns einige hilfreiche Diagnosegraphen zusammen mit unserer Prognoseleistung. Es gibt auch eine Funktion, um automatisch die passenden Parameter des ARIMA-Modells zu bestimmen. Nachdem der Server geladen ist, geben Sie Ihre Daten in die Spalte Daten ein. Markieren Sie den Bereich der Daten, klicken Sie mit der rechten Maustaste und wählen Sie Name Bereich. Benennen Sie den Bereich als Daten. Als nächstes legen Sie die Häufigkeit Ihrer Daten in Cell C6 fest. Frequenz bezieht sich auf die Zeiträume Ihrer Daten. Wenn es wöchentlich ist, wäre die Frequenz 7. Monatlich wäre 12, während vierteljährlich 4 sein würde, und so weiter. Geben Sie die voraussichtlichen Fristen ein. Beachten Sie, dass ARIMA-Modelle nach einigen aufeinanderfolgenden Frequenzvorhersagen ziemlich ungenau werden. Eine gute Faustregel ist, nicht mehr als 30 Stufen zu überschreiten, da irgendetwas vorbei, was ziemlich unzuverlässig sein könnte. Das hängt auch von der Größe Ihres Datensatzes ab. Wenn Sie über begrenzte Daten verfügen, empfiehlt es sich, eine kleinere Vorstufe zu wählen. Nach der Eingabe Ihrer Daten, der Benennung und der Einstellung der gewünschten Frequenz und der Vorhersage der Vorhersage klicken Sie auf Ausführen. Es kann eine Weile dauern, bis die Prognose verarbeitet wird. Sobald es fertig ist, erhalten Sie vorhergesagte Werte auf die angegebene Nummer, den Standardfehler der Ergebnisse und zwei Diagramme. Die linke ist die vorhergesagten Werte, die mit den Daten gezeichnet sind, während das Recht eine praktische Diagnostik mit standardisierten Residuen, die Autokorrelation der Residuen, ein gg-Plot der Residuen und ein Ljung-Box-Statistikgraphen enthält, um festzustellen, ob das Modell gut passt. Ich werde nicht zu viel Detail auf, wie Sie für ein gut ausgestattetes Modell suchen, aber auf dem ACF-Diagramm wollen Sie nicht, dass irgendwelche (oder viel) der Lag Spikes über die gepunktete blaue Linie überqueren. Auf der gg-Handlung, je mehr Kreise, die durch die Linie gehen, desto normaler und besser passt das Modell ist. Für größere Datensätze könnte dies eine Menge Kreise überqueren. Schließlich ist der Ljung-Box-Test ein Artikel an sich, aber je mehr Kreise, die über der punktierten blauen Linie liegen, desto besser ist das Modell. Wenn das Diagnoseergebnis nicht gut aussieht, können Sie versuchen, weitere Daten hinzuzufügen oder an einem anderen Punkt näher an den Bereich zu gehen, den Sie prognostizieren möchten. Sie können die erzeugten Ergebnisse ganz einfach löschen, indem Sie auf die Schaltflächen Clear Forecastted Values ​​klicken. Und das ist es derzeit, die Datum Spalte tut nichts anderes als für Ihre Referenz, aber es ist nicht notwendig für das Tool. Wenn ich Zeit finde, komme ich zurück und füge hinzu, dass der angezeigte Graph die richtige Zeit zeigt. Sie können auch einen Fehler beim Ausführen der Prognose erhalten. Dies ist in der Regel aufgrund der Funktion, die findet die besten Parameter ist nicht in der Lage, die richtige Reihenfolge zu bestimmen. Sie können die oben genannten Schritte zu versuchen, um Ihre Daten besser für die Funktion zu arbeiten. Ich hoffe du bekommst die Verwendung aus dem Werkzeug. Es hat mir viel Zeit bei der Arbeit gerettet, denn jetzt muss ich nur noch die Daten eingeben, den Server laden und ausführen. Ich hoffe auch, dass dies zeigt, wie ehrfürchtiges R sein kann, besonders wenn es mit einem Front-End wie Excel benutzt wird. Code, Excel-Arbeitsblatt und. bas-Datei sind auch hier bei GitHub. Einführung in ARIMA: Nichtseasonal-Modelle ARIMA (p, d, q) Prognosegleichung: ARIMA-Modelle sind in der Theorie die allgemeinste Klasse von Modellen für die Vorhersage einer Zeitreihe, die Kann durch Differenzierung (falls nötig), vielleicht in Verbindung mit nichtlinearen Transformationen, wie zB Protokollierung oder Entleerung (falls erforderlich), hergestellt werden. Eine zufällige Variable, die eine Zeitreihe ist, ist stationär, wenn ihre statistischen Eigenschaften alle über die Zeit konstant sind. Eine stationäre Serie hat keinen Trend, ihre Variationen um ihre Mittel haben eine konstante Amplitude, und es wackelt in einer konsistenten Weise. D. h. seine kurzzeitigen zufälligen Zeitmuster sehen immer in einem statistischen Sinn gleich aus. Die letztere Bedingung bedeutet, daß ihre Autokorrelationen (Korrelationen mit ihren eigenen vorherigen Abweichungen vom Mittelwert) über die Zeit konstant bleiben oder äquivalent, daß sein Leistungsspektrum über die Zeit konstant bleibt. Eine zufällige Variable dieses Formulars kann (wie üblich) als eine Kombination von Signal und Rauschen betrachtet werden, und das Signal (wenn man offensichtlich ist) könnte ein Muster der schnellen oder langsamen mittleren Reversion oder sinusförmigen Oszillation oder eines schnellen Wechsels im Zeichen sein , Und es könnte auch eine saisonale Komponente haben. Ein ARIMA-Modell kann als 8220filter8221 betrachtet werden, das versucht, das Signal vom Rauschen zu trennen, und das Signal wird dann in die Zukunft extrapoliert, um Prognosen zu erhalten. Die ARIMA-Prognosegleichung für eine stationäre Zeitreihe ist eine lineare (d. h. regressionstypische) Gleichung, bei der die Prädiktoren aus Verzögerungen der abhängigen Variablen und Verzögerungen der Prognosefehler bestehen. Das heißt: vorhergesagter Wert von Y eine Konstante undeiner gewichteten Summe von einem oder mehreren neueren Werten von Y und einer gewichteten Summe von einem oder mehreren neueren Werten der Fehler. Wenn die Prädiktoren nur aus verzögerten Werten von Y bestehen, ist es ein reines autoregressives Modell (8220 selbst-regressed8221), das nur ein Spezialfall eines Regressionsmodells ist und mit Standardregressionssoftware ausgestattet werden kann. Zum Beispiel ist ein autoregressives (8220AR (1) 8221) Modell erster Ordnung für Y ein einfaches Regressionsmodell, bei dem die unabhängige Variable nur Y um eine Periode (LAG (Y, 1) in Statgraphics oder YLAG1 in RegressIt hinterlässt). Wenn einige der Prädiktoren die Fehler der Fehler sind, ist es ein ARIMA-Modell, es ist kein lineares Regressionsmodell, denn es gibt keine Möglichkeit, 828last period8217s error8221 als unabhängige Variable anzugeben: Die Fehler müssen auf einer Periodenperiode berechnet werden Wenn das Modell an die Daten angepasst ist. Aus technischer Sicht ist das Problem bei der Verwendung von verzögerten Fehlern als Prädiktoren, dass die Vorhersagen des Modells8217 nicht lineare Funktionen der Koeffizienten sind. Obwohl sie lineare Funktionen der vergangenen Daten sind. So müssen Koeffizienten in ARIMA-Modellen, die verzögerte Fehler enthalten, durch nichtlineare Optimierungsmethoden (8220hill-climbing8221) geschätzt werden, anstatt nur ein Gleichungssystem zu lösen. Das Akronym ARIMA steht für Auto-Regressive Integrated Moving Average. Die Verzögerungen der stationärisierten Serien in der Prognosegleichung werden als quartalspezifische Begriffe bezeichnet, die Verzögerungen der Prognosefehler werden als quadratische Begrenzungsterme bezeichnet, und eine Zeitreihe, die differenziert werden muss, um stationär zu sein, wird als eine quotintegrierte Quotversion einer stationären Serie bezeichnet. Random-Walk - und Random-Trend-Modelle, autoregressive Modelle und exponentielle Glättungsmodelle sind alle Sonderfälle von ARIMA-Modellen. Ein Nicht-Seasonal-ARIMA-Modell wird als ein Quoten-Modell von quaremA (p, d, q) klassifiziert, wobei p die Anzahl der autoregressiven Terme ist, d die Anzahl der für die Stationarität benötigten Nichtseasondifferenzen und q die Anzahl der verzögerten Prognosefehler in Die Vorhersagegleichung. Die Prognosegleichung wird wie folgt aufgebaut. Zuerst bezeichne y die d-te Differenz von Y. Das bedeutet: Beachten Sie, dass die zweite Differenz von Y (der Fall d2) nicht der Unterschied von 2 Perioden ist. Vielmehr ist es der erste Unterschied zwischen dem ersten Unterschied. Welches das diskrete Analog einer zweiten Ableitung ist, d. h. die lokale Beschleunigung der Reihe und nicht deren lokaler Trend. In Bezug auf y. Die allgemeine Prognosegleichung lautet: Hier werden die gleitenden Durchschnittsparameter (9528217s) so definiert, dass ihre Zeichen in der Gleichung nach der von Box und Jenkins eingeführten Konventionen negativ sind. Einige Autoren und Software (einschließlich der R-Programmiersprache) definieren sie so, dass sie stattdessen Pluszeichen haben. Wenn tatsächliche Zahlen in die Gleichung gesteckt sind, gibt es keine Mehrdeutigkeit, aber it8217s wichtig zu wissen, welche Konvention Ihre Software verwendet, wenn Sie die Ausgabe lesen. Oft werden die Parameter dort mit AR (1), AR (2), 8230 und MA (1), MA (2), 8230 usw. bezeichnet. Um das entsprechende ARIMA-Modell für Y zu identifizieren, beginnen Sie mit der Bestimmung der Reihenfolge der Differenzierung (D) die Serie zu stationieren und die Brutto-Merkmale der Saisonalität zu entfernen, vielleicht in Verbindung mit einer abweichungsstabilisierenden Transformation wie Protokollierung oder Entleerung. Wenn Sie an dieser Stelle anhalten und vorhersagen, dass die differenzierte Serie konstant ist, haben Sie nur einen zufälligen Spaziergang oder ein zufälliges Trendmodell ausgestattet. Allerdings können die stationärisierten Serien immer noch autokorrelierte Fehler aufweisen, was darauf hindeutet, dass in der Prognosegleichung auch eine Anzahl von AR-Terme (p 8805 1) und einigen einigen MA-Terme (q 8805 1) benötigt werden. Der Prozess der Bestimmung der Werte von p, d und q, die am besten für eine gegebene Zeitreihe sind, wird in späteren Abschnitten der Noten (deren Links oben auf dieser Seite), aber eine Vorschau auf einige der Typen diskutiert werden Von nicht-seasonalen ARIMA-Modellen, die häufig angetroffen werden, ist unten angegeben. ARIMA (1,0,0) Autoregressives Modell erster Ordnung: Wenn die Serie stationär und autokorreliert ist, kann man sie vielleicht als Vielfaches ihres eigenen vorherigen Wertes und einer Konstante voraussagen. Die prognostizierte Gleichung in diesem Fall ist 8230which ist Y regressed auf sich selbst verzögerte um einen Zeitraum. Dies ist ein 8220ARIMA (1,0,0) constant8221 Modell. Wenn der Mittelwert von Y Null ist, dann wäre der konstante Term nicht enthalten. Wenn der Steigungskoeffizient 981 & sub1; positiv und kleiner als 1 in der Grße ist (er muß kleiner als 1 in der Grße sein, wenn Y stationär ist), beschreibt das Modell das Mittelwiederkehrungsverhalten, bei dem der nächste Periode8217s-Wert 981 mal als vorher vorausgesagt werden sollte Weit weg von dem Mittelwert als dieser Zeitraum8217s Wert. Wenn 981 & sub1; negativ ist, prognostiziert es ein Mittelrückkehrverhalten mit einem Wechsel von Zeichen, d. h. es sagt auch, daß Y unterhalb der mittleren nächsten Periode liegt, wenn es über dem Mittelwert dieser Periode liegt. In einem autoregressiven Modell zweiter Ordnung (ARIMA (2,0,0)) wäre auch ein Y-t-2-Term auf der rechten Seite und so weiter. Abhängig von den Zeichen und Größen der Koeffizienten könnte ein ARIMA (2,0,0) Modell ein System beschreiben, dessen mittlere Reversion in einer sinusförmig oszillierenden Weise stattfindet, wie die Bewegung einer Masse auf einer Feder, die zufälligen Schocks ausgesetzt ist . ARIMA (0,1,0) zufälliger Spaziergang: Wenn die Serie Y nicht stationär ist, ist das einfachste Modell für sie ein zufälliges Spaziergangmodell, das als Begrenzungsfall eines AR (1) - Modells betrachtet werden kann, in dem das autoregressive Koeffizient ist gleich 1, dh eine Serie mit unendlich langsamer mittlerer Reversion. Die Vorhersagegleichung für dieses Modell kann wie folgt geschrieben werden: wobei der konstante Term die mittlere Periodenänderung (dh die Langzeitdrift) in Y ist. Dieses Modell könnte als ein Nicht-Intercept-Regressionsmodell eingebaut werden, in dem die Die erste Differenz von Y ist die abhängige Variable. Da es (nur) eine nicht-seasonale Differenz und einen konstanten Term enthält, wird es als ein quotARIMA (0,1,0) Modell mit constant. quot eingestuft. Das random-walk-without - drift-Modell wäre ein ARIMA (0,1, 0) Modell ohne Konstante ARIMA (1,1,0) differenzierte Autoregressive Modell erster Ordnung: Wenn die Fehler eines zufälligen Walk-Modells autokorreliert werden, kann das Problem eventuell durch Hinzufügen einer Verzögerung der abhängigen Variablen zu der Vorhersagegleichung behoben werden - - ie Durch den Rücktritt der ersten Differenz von Y auf sich selbst um eine Periode verzögert. Dies würde die folgende Vorhersagegleichung ergeben: die umgewandelt werden kann Dies ist ein autoregressives Modell erster Ordnung mit einer Reihenfolge von Nicht-Seasonal-Differenzen und einem konstanten Term - d. h. Ein ARIMA (1,1,0) Modell. ARIMA (0,1,1) ohne konstante, einfache exponentielle Glättung: Eine weitere Strategie zur Korrektur autokorrelierter Fehler in einem zufälligen Walk-Modell wird durch das einfache exponentielle Glättungsmodell vorgeschlagen. Erinnern Sie sich, dass für einige nichtstationäre Zeitreihen (z. B. diejenigen, die geräuschvolle Schwankungen um ein langsam variierendes Mittel aufweisen), das zufällige Wandermodell nicht so gut wie ein gleitender Durchschnitt von vergangenen Werten ausführt. Mit anderen Worten, anstatt die jüngste Beobachtung als die Prognose der nächsten Beobachtung zu nehmen, ist es besser, einen Durchschnitt der letzten Beobachtungen zu verwenden, um das Rauschen herauszufiltern und das lokale Mittel genauer zu schätzen. Das einfache exponentielle Glättungsmodell verwendet einen exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt von vergangenen Werten, um diesen Effekt zu erzielen. Die Vorhersagegleichung für das einfache exponentielle Glättungsmodell kann in einer Anzahl von mathematisch äquivalenten Formen geschrieben werden. Eine davon ist die so genannte 8220error Korrektur8221 Form, in der die vorherige Prognose in Richtung des Fehlers eingestellt wird, die es gemacht hat: Weil e t-1 Y t-1 - 374 t-1 per Definition, kann dies wie folgt umgeschrieben werden : Das ist eine ARIMA (0,1,1) - ohne Konstante Prognose Gleichung mit 952 1 1 - 945. Dies bedeutet, dass Sie eine einfache exponentielle Glättung passen können, indem Sie es als ARIMA (0,1,1) Modell ohne Konstant und der geschätzte MA (1) - Koeffizient entspricht 1-minus-alpha in der SES-Formel. Erinnern daran, dass im SES-Modell das Durchschnittsalter der Daten in den 1-Perioden-Prognosen 1 945 beträgt. Dies bedeutet, dass sie dazu neigen, hinter Trends oder Wendepunkten um etwa 1 945 Perioden zurückzukehren. Daraus folgt, dass das Durchschnittsalter der Daten in den 1-Periodenprognosen eines ARIMA (0,1,1) - without-constant-Modells 1 (1 - 952 1) beträgt. So, zum Beispiel, wenn 952 1 0.8, ist das Durchschnittsalter 5. Wenn 952 1 sich nähert, wird das ARIMA (0,1,1) - without-konstantes Modell zu einem sehr langfristigen gleitenden Durchschnitt und als 952 1 Nähert sich 0 wird es zu einem zufälligen Walk-ohne-Drift-Modell. Was ist der beste Weg, um Autokorrelation zu korrigieren: Hinzufügen von AR-Terme oder Hinzufügen von MA-Terme In den vorangegangenen zwei Modellen, die oben diskutiert wurden, wurde das Problem der autokorrelierten Fehler in einem zufälligen Walk-Modell auf zwei verschiedene Arten festgelegt: durch Hinzufügen eines verzögerten Wertes der differenzierten Serie Zur Gleichung oder Hinzufügen eines verzögerten Wertes des Prognosefehlers. Welcher Ansatz ist am besten Eine Faustregel für diese Situation, die später noch ausführlicher erörtert wird, ist, dass eine positive Autokorrelation in der Regel am besten durch Hinzufügen eines AR-Termes zum Modell behandelt wird und eine negative Autokorrelation wird meist am besten durch Hinzufügen eines MA Begriff. In geschäftlichen und ökonomischen Zeitreihen entsteht oftmals eine negative Autokorrelation als Artefakt der Differenzierung. (Im Allgemeinen verringert die Differenzierung die positive Autokorrelation und kann sogar einen Wechsel von positiver zu negativer Autokorrelation verursachen.) So wird das ARIMA (0,1,1) - Modell, in dem die Differenzierung von einem MA-Term begleitet wird, häufiger als ein ARIMA (1,1,0) Modell. ARIMA (0,1,1) mit konstanter, einfacher, exponentieller Glättung mit Wachstum: Durch die Implementierung des SES-Modells als ARIMA-Modell erhalten Sie gewisse Flexibilität. Zunächst darf der geschätzte MA (1) - Koeffizient negativ sein. Dies entspricht einem Glättungsfaktor größer als 1 in einem SES-Modell, was in der Regel nicht durch das SES-Modell-Anpassungsverfahren erlaubt ist. Zweitens haben Sie die Möglichkeit, einen konstanten Begriff im ARIMA-Modell einzubeziehen, wenn Sie es wünschen, um einen durchschnittlichen Trend ungleich Null abzuschätzen. Das ARIMA (0,1,1) - Modell mit Konstante hat die Vorhersagegleichung: Die Prognosen von einem Periodenvorhersage aus diesem Modell sind qualitativ ähnlich denen des SES-Modells, mit der Ausnahme, dass die Trajektorie der Langzeitprognosen typischerweise ein Schräge Linie (deren Steigung gleich mu ist) anstatt einer horizontalen Linie. ARIMA (0,2,1) oder (0,2,2) ohne konstante lineare exponentielle Glättung: Lineare exponentielle Glättungsmodelle sind ARIMA-Modelle, die zwei Nichtseason-Differenzen in Verbindung mit MA-Terme verwenden. Der zweite Unterschied einer Reihe Y ist nicht einfach der Unterschied zwischen Y und selbst, der um zwei Perioden verzögert ist, sondern vielmehr der erste Unterschied der ersten Differenz - i. e. Die Änderung der Änderung von Y in der Periode t. Somit ist die zweite Differenz von Y in der Periode t gleich (Y t - Y t - 1) - (Y t - 1 - Y t - 2) Y t - 2Y t - 1 Y t - 2. Eine zweite Differenz einer diskreten Funktion ist analog zu einer zweiten Ableitung einer stetigen Funktion: sie misst die quotaccelerationquot oder quotcurvaturequot in der Funktion zu einem gegebenen Zeitpunkt. Das ARIMA (0,2,2) - Modell ohne Konstante prognostiziert, dass die zweite Differenz der Serie gleich einer linearen Funktion der letzten beiden Prognosefehler ist: die umgeordnet werden kann: wobei 952 1 und 952 2 die MA (1) und MA (2) Koeffizienten Dies ist ein allgemeines lineares exponentielles Glättungsmodell. Im Wesentlichen das gleiche wie Holt8217s Modell, und Brown8217s Modell ist ein Sonderfall. Es verwendet exponentiell gewichtete Bewegungsdurchschnitte, um sowohl eine lokale Ebene als auch einen lokalen Trend in der Serie abzuschätzen. Die langfristigen Prognosen von diesem Modell konvergieren zu einer geraden Linie, deren Hang hängt von der durchschnittlichen Tendenz, die gegen Ende der Serie beobachtet wird. ARIMA (1,1,2) ohne konstante gedämpfte Trend-lineare exponentielle Glättung. Dieses Modell wird in den beiliegenden Folien auf ARIMA-Modellen dargestellt. Es extrapoliert den lokalen Trend am Ende der Serie, aber erhebt es bei längeren Prognosehorizonten, um eine Note des Konservatismus einzuführen, eine Praxis, die empirische Unterstützung hat. Sehen Sie den Artikel auf quotWhy der Damped Trend Workquot von Gardner und McKenzie und die quotGolden Rulequot Artikel von Armstrong et al. für Details. Es ist grundsätzlich ratsam, an Modellen zu bleiben, bei denen mindestens eines von p und q nicht größer als 1 ist, dh nicht versuchen, ein Modell wie ARIMA (2,1,2) zu passen, da dies wahrscheinlich zu Überfüllung führen wird Und quotcommon-factorquot-Themen, die ausführlicher in den Anmerkungen zur mathematischen Struktur von ARIMA-Modellen diskutiert werden. Spreadsheet-Implementierung: ARIMA-Modelle wie die oben beschriebenen sind einfach in einer Kalkulationstabelle zu implementieren. Die Vorhersagegleichung ist einfach eine lineare Gleichung, die sich auf vergangene Werte der ursprünglichen Zeitreihen und vergangene Werte der Fehler bezieht. So können Sie eine ARIMA-Prognosekalkulationstabelle einrichten, indem Sie die Daten in Spalte A, die Prognoseformel in Spalte B und die Fehler (Daten minus Prognosen) in Spalte C speichern. Die Prognoseformel in einer typischen Zelle in Spalte B wäre einfach Ein linearer Ausdruck, der sich auf Werte in vorhergehenden Zeilen der Spalten A und C bezieht, multipliziert mit den entsprechenden AR - oder MA-Koeffizienten, die in anderen Zellen auf der Kalkulationstabelle gespeichert sind.